MENENTUKAN FPB DAN KPK

KPK dan FPB merupakan salah satu materi yang diajarkan sejak  duduk dibangku SD, apa sampai sekarang materi matematika tersebut masih ada dalam ingatan kita? Bagi yang ingat-ingat lupa, dalam artikel ini akan dijabarkan kembali mengenai KPK dan FPB, dari definisi, cara mencari, serta berbagai contoh soal mengenai KPK dan FPB.

Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan hal tentang bilangan prima juga  faktorisasi prima, apa maksud dari kedua ungkapan tersebut :
Bilangan prima merupakan bilangan yang sudah tidak asing lagi yaitu bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1, yang termasuk dalam bilangan prima {2,3,5,7,11,…..}. SedangkanFaktorisasi prima merupakan penguraian bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini diperlukan pohon faktor.
contoh:
Faktor prima dari 80 adalah….

buat pohon faktornya:

adversitemens

 

didapat 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5

Jadi faktor prima dari 80 adalah 2⁴ x 5

1. FPB

Faktor Persekutuan Terbesar atau yang familiar disebut sebagai FPB dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Terdapat beberapa metode untuk mencari FPB, yaitu :

1. Menggunakan Faktor Persekutuan

Faktor persekutuan merupakan  faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih dan FPB itu sendiri adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu.

Contoh:

carilah  FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :

Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}

Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}

Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4

Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4

2. Menggunakan Faktorisasi Prima

Pada cara ini kita ambil bilangan faktor yang sama, selanjutnya ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan.

Contoh:

a. carilah  FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :

buatlah  pohon faktornya

sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan  yang terkecil adalah 2² = 4

Maka FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

b.Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

• 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.

• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

• Pangkat terendah dari 5 adalah 1.

• Maka FPB =  2 X 5  =  10

c.Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

2 dan 3 merupakan bilangan primayang sama terdapat faktorisasi prima dari kedua pohon faktor, dimana pangkat terendah dari 2 adalah 2 dan pangkat terendah dari 3 adalah 1 sehingga FPB dari kedua bilangan tersebut yaitu 2².3=12

3. Menggunakan Tabel

Cara tabel ini yaitu dengan membagi bilangan yang dicari menggunakan bilangan prima.
contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

	21	35
3	7	5
5	7	1
7	1	1

                          FPB  =  3
 b. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB  = 2 X 3 X 3=  2 X 3²  =  18
Untuk contoh a karena hanya bilangan 3 saja yang bisa membagi habis 21 dan 35 maka FPB = 3
Untuk contoh b hanya yang diberi huruf tebal yang bisa bagi habis bilangan di atasnya saja
c. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

	75	105	120
2	75	105	60
2	75	105	30
2	75	105	15
3	25	35	5
5	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

                          FPB  =  3  X  5  =  15

2. KPK

Kelipatan Persekutuan Terkecil atau lebih dikenal dengan sebutan KPK dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut. Dalam mencari nilai KPK dari bilangan dapat digunakan beberapa metode, antara lain :

 1. Menggunakan Kelipatan Persekutuan

Kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih . KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan 2 atau lebih bilangan.

Contoh:

carilah  KPK dari 4 dan 8?
Jawab :
Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ….}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, …}Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, …    ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8

2. Menggunakan Faktorisasi Prima

Hal yang harus dilakukan dalam mencari KPK menggunakan cara faktorisasi prima yaitu mengalikan semua bilangan faktor dan apabila ada yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya
Contoh:
carilah KPK dari 8, 12 dan 30
Jawab :
buat pohon faktornyafaktor 2 yang terbesar àdalah 2³faktor 3 nilainya sama untuk 12 dan 30à ambil salah satunya saja yaitu 3faktor 5 ada 1 à ambil nilai 5sehingga KPKnya adalah 2³ x 3 x 5 = 120

3. Menggunakan Tabel
Sama hal nya dengan mencari FPB, hakikatnya cara ini memiliki prinsip yang sama
contoh :
a.  Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

                          KPK  =  2 X 2 X 2 X 2 X 5
                                  =   2⁴ X 5  =  80
b. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

	10	15	25
2	5	15	25
3	5	5	25
5	1	1	5
5	1	1	1

 KPK  =  2  X 3  X  5  X 5
        =   2 X 3 X 5² =  150
Contoh soal cerita
1.Ali Berenang 10 hari sekali, Budi berenang 15 hari sekali, sedangkan Amir berenang 20 hari sekali. Ketiga-tiganya sama-sama berenang petamakali pada tanggal 20 februari 2012, kapan ketiga-tiganya sama-sama berenang untuk yang keduakalinya?
Jawab:Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5Faktorisasi prima dari 15 = 3 x 5Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5KPK dari 10, 15 dan 20 = 2² x 3  x 5 = 60 (kalikan semua faktor, faktor yang sama ambil yang                                                                     terbesar)Jadi mereka sama-sama berenang setiap 60 hari sekali.Mereka sama-sama berenang untuk yang keduakalinya adalah 20 februari + 60 hari = 20 AprilIngat bulan februari untuk tahun kabisat adalah 29 hari, untuk tahun bukan kabisat = 28 hari(2012 adalah tahun kabisat karena habis dibagi dengan 4)2. Bu Aminah mempunyai 20 jeruk dan 30 salak, jeruk dan salak akan dimasukkan ke dalam plastik dengan jumlah yang sama.a. Berapa plastik yang diperlukan?b. Berapa banyak jeruk dan salak pada masing-masing plastik?Jawab:Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kalikan faktor yang sama, apabila sama ambil yang terkecil)a. Jumlah plastik yang diperlukan = 10 plastikb. Jumlah jeruk pada setiap plastik = 20/10 = 2 jerukJujmlah salak pada setiap plastik = 30/10 = 3 salak3.Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari.  Pak Karim mendapat giliran ronda setiap 6 hari.  Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari.  Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama ?  Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 Januari 2008, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi ?
Penyelesaian
KPK dari 4, 6 dan 8

	4	6	8
2	2	3	4
2	1	3	2
2	1	3	1
3	1	1	1

KPK dari 4, 6, dan 8              =  2 X 2 X 2 X 3
=  2³ X 3
=  8  X  3
=  24

Jadi mereka ronda bersama-sama setiap 2

(SUMBER: rumus-matematika.com)